层状介质中的大地电磁场_层状介质中的大地电磁场有哪些
图1⁃2⁃9 层状一维介质模型
图中Z1，Zm，…，Zn表示各层顶面的波阻抗
设大地由n层水平层状介质所组成（图 1⁃2⁃9）。各层的电阻率为 ρ1，ρ2，ρm，…，ρn，厚度为 h1，h2，hm，…，hn→∞。
由于层状一维介质中的电性在水平方向上是均匀的，因而垂直入射平面波的场强在水平方向上也应该是均匀的，引入z轴向下的笛卡尔坐标系，将有
地电场与电法勘探
这里x-y轴是位于地面上的一组正交测量轴。把层状介质中的电磁场和前述均匀大地介质模型作对比，可以看出其电磁场沿任意正交测量轴也可分解为两组线性偏振波，且介质中电场E和磁场H正交，（E⊥H），无垂直分量存在（Ez=Hz=0），波阻抗是与测量轴方位无关的标量阻抗。但是，由于层状介质中存在有不同电性介质的分界面，在分界面上电磁波将分解为反射波和透过波两部分。
我们仍以H偏振（Ex-Hy）波为例来研究电磁波的传播特性。由于层状介质中各层的电阻率ρ和复波数 k 不同，根据式（1⁃2⁃27）和（1⁃2⁃28），任一层介质中的波动方程为：
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其中km是第m层的复波数，
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我们对Ex方程求解，其一般解为
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利用Ex和Hy的关系式（1⁃2⁃20a），得：
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这里积分常数Cm和Dm也是针对第m层而言的，即层状介质中各层有不同的电阻率，复波数和积分常数。
积分常数Cm和Dm必须根据边界条件来确定。由于图1⁃2⁃9中最底部的第n层hn→∞，该层中Z→∞时Ex=0和Hy=0，要求相应的积分常数Dn≡0，它将代入式（1⁃2⁃43）和（1⁃2⁃44），可以得知最底部第n层的波阻抗等于介质的特征阻抗：
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这里Zn表示图1⁃2⁃9中第n层顶界面（z=zn）处的波阻抗，界面处的波阻抗也称界面阻抗。Z0n和kn分别表示相应层的特征阻抗和复波数。在下面的讨论中脚码也具有类似的意义，并都以图1⁃2⁃9作为讨论的依据。
但是，由于其余各层（m＜n）的厚度都是有限的，不存在无穷远的边界条件，相应的积分常数Cm和Dm都不为零。根据波的传播和衰减特性，可以把表达式（1⁃2⁃43）和（1⁃2⁃44）看作是由入射波（Ei-Hi）和反射波（Er-Hr）两部分所组成，可写成：
Ex=Ei+Er（1⁃2⁃43a）
Hy=Hi+Hr（1⁃2⁃44a）
的形式，其中入射波向下传播并随z的增大按指数规律衰减：
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反射波沿相反方向（-z）传播和衰减：
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显然，波在最底部第n层介质中传播时并无反射界面存在，相应的反射波Er=0，Hr=0，这就是积分常数Dn≡0的物理意义。入射波或反射波都是单向行波，它们也好像在无限均匀介质中传播一样，各自的波阻抗是介质的特征阻抗：
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这里Z0m表示第m层的特征阻抗，其中负号表示反射波是沿反方向传播的。
在同时存在入射波和反射波的介质中，波阻抗不等于介质的特征阻抗，它的一般表达式为
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或
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这里用到Ei=Z0mHi和Er=-Z0mHr的代换。式中波阻抗是随深度z变化的，波阻抗由于反射波的存在而复杂化。然而，正是由于反射波的存在，才带来了深部介质电阻率分布的信息。下面我们来推导地面波阻抗和地下层状介质电阻率分布之间的关系。
地面波阻抗的递推公式
层状介质地面波阻抗和地下介质电阻率分布之间的关系，可以用递推公式来表示，这组递推公式是将地面波阻抗依次用其下伏相邻岩层顶面的波阻抗来表示，直至最底部第n层，而第n层顶面的波阻抗等于介质的特征阻抗Zn=Z0n=-iωμ/kn显然，构成递推公式的关键是导出相邻两层顶面波阻抗之间的关系式。考虑到波阻抗在分界面上是连续的，任一层底界面的波阻抗等于其下伏相邻介质顶界面的波阻抗，因而问题转为求解同一层顶面和底面波阻抗之间的关系。
我们知道同一层内部积分常数Cm和Dm是相同的，因此，层内不同深度处的波阻抗可以通过积分常数联系起来。为此，我们将式（1⁃2⁃47）作如下变换：
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从中有
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从式（1⁃2⁃49）和（1⁃2⁃50）可以看出，若取底面处波阻抗代入式（1⁃2⁃50）来求Dm/Cm，进而将它代入式（1⁃2⁃49）求取顶面的波阻抗，则可把同一层顶面和底面的波阻抗联系起来，并消去积分常数Cm和Dm。我们把分界面上的波阻抗称为界面阻抗，第m层顶面的波阻抗为Zm=Z（zm），底面的波阻抗等于第m+1层顶面的波阻抗，用Zm+1=Z（zm+1）表示，这里zm和zm+1分别为第m层和第m+1层顶面的埋深。用Zm+1代入式（1⁃2⁃50），得
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将上式代入式（1⁃2⁃49）中，求得Zm为
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式中hm=zm+1-zm，它是第m层的厚度。令
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于是，
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可以得知Lm+1即为第m层底界面的磁反射系数。这是由于磁反射系数定义为底界面处反射波H′r和入射波H′i之比。根据式（1⁃2⁃48），在z=zm+1处有
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若令H′r/H′i=Lm+1，则
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即可以得出：
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式（1⁃2⁃52）是相邻两层顶界面之间波阻抗的关系式，考虑到最底部第n层的波阻抗是介质的特征阻抗，于是，层状介质地面波阻抗可以通过以下递推公式求得：
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递推计算从最底部第n层开始，当令m+1=n时，有Zm+1=Z0n，可以通过上式求Lm+1和Zm，得到第n-1层顶面的波阻抗。然后逐次使m递减，即把所求得的界面阻抗视为公式中的Zm+1，进一步去推算更上一层介质顶面的波阻抗Zm，如此重复，直至m=1，则可求出地面的波阻抗。显然，地面波阻抗是地下各层介质的电阻率、厚度和电磁波周期T的函数，可以写成如下一般函数关系式：
Z（0）=f（ρ1，ρ2，…，ρn，h1，h2，…，hn-1，T）
递推公式还可以用双曲函数来表示，利用双曲函数的定义：
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将式（1⁃2⁃49）
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中的Dm/Cm作变换：
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式中取±Dm/Cm是考虑到负数没有对数。于是，
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并有
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为了求出波阻抗的递推关系式，可以利用Zm+1来表示-ln
，
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进而求得相邻两个分界面上波阻抗之间的关系式：
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于是，用双曲函数表示的递推公式为
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式中对双曲正切和双曲余切的选取，取决于函数的定义域：
｜ thx｜＜ 1，｜cthx ｜＞1
在二层介质中，当ρ1＞ρ2时取双曲正切：
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反之，当ρ1＜ρ2时取双曲余切：
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